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현대 공학, 특히 신호 처리 및 시스템 이론 분야에서 선형성(linearity) 과 시간불변성(time-invariance) 은 시스템의 동작을 이해하고 해석하는 데 가장 중요한 기본 개념입니다. 이 두 가지 특성을 충족하는 시스템은 이론적 분석뿐 아니라 실제 설계와 구현에 있어서도 큰 장점을 가집니다.
1. 선형성이란 무엇인가?
선형성은 시스템이 입력 신호에 대해 어떤 특정한 “규칙”을 지키는 성질입니다.
간단히 말하면, 시스템이 다음 두 가지 성질을 만족할 때 선형이라고 합니다.
- 가법성 (Additivity):
두 입력 신호의 합에 대한 시스템의 출력은 각 입력 신호에 대한 출력의 합과 같다. - 동차성 (Homogeneity, Scaling):
입력 신호에 상수를 곱한 것에 대한 시스템 출력은 그 상수를 곱한 출력과 같다.
즉, 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
시스템이 선형이라면 임의의 두 입력 신호 x1(t)x_1(t)x1(t), x2(t)x_2(t)x2(t)와 임의의 상수 a,ba, ba,b에 대해
여기서 S{⋅}S\{\cdot\}S{⋅}는 시스템 연산자를 의미합니다.
예시: 선형 시스템
가장 대표적인 선형 시스템으로는 저항, 인덕터, 커패시터 같은 기본 전기소자가 있고, 이들의 관계식(예: 옴의 법칙 v=Riv=Riv=Ri)은 선형 관계입니다.
예시: 비선형 시스템
반면에 다이오드, 트랜지스터 같은 반도체 소자들은 전압-전류 관계가 비선형적입니다. 예를 들어, 다이오드의 전압-전류 관계는 지수함수 형태로 나타나므로 선형성이 성립하지 않습니다.
2. 시간불변성이란 무엇인가?
시간불변성은 시스템의 동작이 시간에 따라 변하지 않는 특성입니다. 다시 말해, 시스템에 입력 신호가 시간축에서 얼마만큼 이동해도, 출력 신호 역시 같은 시간만큼 이동할 뿐 그 형태나 특성은 변하지 않아야 합니다.
즉, 입력 신호 x(t)x(t)x(t)에 대해 출력이 y(t)y(t)y(t)라면, 입력을 시간 τ\tauτ만큼 지연시킨 x(t−τ)x(t-\tau)x(t−τ)의 출력은
이어야 합니다.
수식으로 표현하면
시간불변 시스템 SSS는 모든 시간 이동 τ\tauτ에 대해
를 만족합니다.
예시: 시간불변 시스템
저항, 인덕터, 커패시터 같은 기본 전기 소자는 시간에 따라 특성이 변하지 않으므로 시간불변 시스템입니다.
예시: 시간변화 시스템
예를 들어, 시간에 따라 변하는 회로 소자나 시간에 따라 변화하는 시스템 매개변수를 가진 경우(예: 온도에 따라 저항값이 달라지는 경우)는 시간불변성이 성립하지 않습니다.
3. 선형성과 시간불변성의 중요성
이 두 특성을 모두 만족하는 시스템을 선형 시간불변 시스템(LTI, Linear Time-Invariant system) 이라고 하며, 이 시스템은 공학에서 가장 많이 다루는 대상입니다.
LTI 시스템은 다음과 같은 강력한 장점을 가집니다.
- 슈퍼포지션 원리 적용 가능: 복잡한 입력도 기본 입력들의 합으로 표현하여 해석 가능
- 임펄스 응답(Impulse response) 기반 완전한 해석 가능: 시스템 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션으로 표현
- 주파수 영역 해석 가능: 시스템의 주파수 응답을 통해 신호 필터링, 증폭 등의 특성을 쉽게 파악 가능
4. LTI 시스템의 수학적 표현
LTI 시스템은 임펄스 응답 h(t)h(t)h(t)를 이용해 다음과 같이 출력 y(t)y(t)y(t)를 표현합니다.
이 수식에서 ∗*∗는 컨볼루션 연산을 의미합니다.
5. 예제와 직관적인 이해
예제 1: 선형성 검증
입력이 x1(t)=sin(t)x_1(t) = \sin(t)x1(t)=sin(t), x2(t)=cos(t)x_2(t) = \cos(t)x2(t)=cos(t)일 때, 시스템이 선형이면
가 성립해야 합니다.
예제 2: 시간불변성 검증
입력 x(t)=u(t)x(t) = u(t)x(t)=u(t) (단위계단 함수)일 때 출력이 y(t)y(t)y(t)라면, 입력을 x(t−2)x(t-2)x(t−2)로 지연시킨 경우 출력은 y(t−2)y(t-2)y(t−2)와 같아야 시간불변성 조건이 성립합니다.
6. 결론 및 요약
- 선형성: 입력의 선형 결합에 대해 출력도 동일한 선형 결합으로 반응
- 시간불변성: 시스템 특성이 시간에 따라 변하지 않아 입력 신호의 시간 이동에 대해 출력도 동일하게 시간 이동
- 두 특성이 모두 만족하면 LTI 시스템, 해석과 설계가 매우 용이함
- 실제 공학에서 매우 중요하며, 신호처리 및 제어 시스템의 기본
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