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전달함수와 시스템 특성 완벽 이해(예제pdf)

1. 전달함수란 무엇인가?

시스템 제어 이론에서 가장 핵심적인 개념 중 하나가 바로 전달함수입니다. 전달함수는 입력 신호와 출력 신호 간의 관계를 수학적으로 표현한 함수로, 시스템의 동작 특성을 분석하고 설계하는 데 필수적입니다.

전달함수는 보통 라플라스 변환을 활용하여 미분 방정식을 대수 방정식 형태로 변환한 후 정의합니다. 일반적인 시스템에서 입력 u(t) 와 출력 y(t) 가 있을 때, 라플라스 변환을 하면 각각 U(s) , Y(s) 가 되고, 전달함수 G(s) 는 다음과 같이 정의됩니다.

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}

이때 s 는 복소수 변수로, 복소 주파수 영역을 의미합니다.

전달함수는 시스템의 동적 특성을 주파수 영역에서 간결하게 분석할 수 있게 하며, 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등 다양한 성능 지표를 평가하는 데 매우 유용합니다.

2. 전달함수의 구성과 형태

전달함수는 분자와 분모가 다항식으로 구성된 경우가 많으며, 다음과 같은 일반적인 형태를 갖습니다.

G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0}

여기서 n 은 시스템의 차수(order), m 은 분자의 차수를 뜻합니다. 분모 다항식의 차수가 분자보다 같거나 큰 경우가 일반적이며, 이것이 안정적인 시스템을 의미합니다.

전달함수의 분모 다항식은 시스템의 특성방정식(characteristic equation) 으로 불리며, 시스템의 안정성 판단에 중요한 역할을 합니다.

3. 시스템 특성 분석

3.1 극점과 영점

  • 극점(poles) : 전달함수의 분모를 0으로 만드는 s 값들입니다.
    a_n s^n + \cdots + a_0 = 0 의 해입니다.
  • 영점(zeros) : 전달함수의 분자를 0으로 만드는 s 값들입니다.
    b_m s^m + \cdots + b_0 = 0 의 해입니다.

극점과 영점은 시스템의 응답 특성을 결정하는 중요한 요소로, 극점은 시스템의 자연응답을, 영점은 강제응답을 주로 좌우합니다.

3.2 안정성 판단

시스템의 안정성은 전달함수의 극점 위치로 결정됩니다. 복소 평면 상에서 모든 극점이 좌측 반평면에 존재하면 시스템은 안정(stable) 하다고 판단합니다.

만약 극점 중 하나라도 우측 반평면에 있으면 시스템은 불안정(unstable)하며, 극점이 허수축 위에 위치하면 임계 안정(marginally stable) 상태입니다.

3.3 시스템 응답 특성

전달함수를 통해 다음과 같은 시간응답 특성을 유추할 수 있습니다.

  • 과도응답 (Transient Response): 초기 상태에서 목표값에 도달하는 과정에서의 반응. 극점의 위치에 크게 영향을 받음.
  • 정상상태응답 (Steady-State Response): 시간이 충분히 경과한 후에 시스템이 도달하는 최종 출력 상태.
  • 감쇠 및 진동: 극점의 실수부가 클수록 감쇠가 빠르고, 허수부가 클수록 진동 성분이 강해짐.

4. 전달함수 예시와 해석

4.1 1차 시스템

가장 간단한 전달함수 예시는 1차 시스템입니다.

G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}

여기서 K 는 시스템 이득, \tau 는 시간상수입니다. 이 전달함수는 입력 변화에 대해 지수 함수 형태의 응답을 보입니다.

1차 시스템의 극점은 s = -\frac{1}{\tau} 하나로 좌측 반평면에 있으므로 안정적입니다.

4.2 2차 시스템

2차 시스템은 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}

여기서,

  • \omega_n : 고유 진동수 (natural frequency)
  • \zeta : 감쇠비 (damping ratio)

감쇠비 값에 따라 시스템의 응답 특성이 크게 달라집니다.

  • \zeta > 1 : 과감쇠 시스템 (overdamped), 진동 없이 천천히 목표에 도달
  • \zeta = 1 : 임계 감쇠 (critically damped), 가장 빠른 안정 응답
  • 0 < \zeta < 1 : 저감쇠 (underdamped), 진동을 동반하는 안정적 응답
  • \zeta = 0 : 감쇠 없음, 지속 진동 (unstable)

5. 전달함수의 라플라스 변환과 미분방정식 관계

물리적 시스템의 동작은 보통 미분방정식으로 기술됩니다. 예를 들어, 1차 시스템의 경우 다음과 같은 미분방정식이 있을 수 있습니다.

\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)

이 방정식에 라플라스 변환을 취하면,

\tau s Y(s) + Y(s) = K U(s)

정리하면,

Y(s) \left( \tau s + 1 \right) = K U(s)

따라서 전달함수는

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}

이처럼 전달함수는 복잡한 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 변환하여 시스템을 쉽게 분석할 수 있게 합니다.

6. 전달함수를 이용한 시스템 설계와 해석

시스템 제어 설계에서는 전달함수를 기반으로 다음을 수행합니다.

  • 시스템 안정성 평가
  • 주파수 응답 분석 (보드선도, 나이퀴스트선도)
  • 제어기(피드백, PID 등) 설계
  • 시간응답 시뮬레이션

특히, PID 제어기의 이득값을 조정할 때 전달함수를 활용하면 설계가 직관적이고 수월해집니다.

7. 전달함수와 회로도 예시

전기회로에서도 전달함수가 널리 사용됩니다. 예를 들어 RC 저역 통과 필터의 경우,

저항 R과 커패시터 C로 이루어진 회로의 전달함수는 다음과 같습니다.

G(s) = \frac{1}{RC s + 1}

이 전달함수를 통해 필터의 컷오프 주파수와 감쇠 특성을 분석할 수 있습니다.

8. 전달함수와 시스템 특성 요약

구분설명
전달함수입력과 출력의 라플라스 변환 비율
극점 (poles)전달함수 분모의 근, 시스템 안정성 결정
영점 (zeros)전달함수 분자의 근, 응답 형태 영향
안정성모든 극점이 좌측 반평면에 있으면 안정
1차 시스템 G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
2차 시스템 G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}

9. 문제 풀이 연습: 이해도를 높이기 위한 문제 제공

마지막으로, 본 내용을 충분히 익힐 수 있도록 초급, 중급, 고급 수준의 문제를 별도로 준비했습니다. 문제마다 풀이와 해설도 상세히 제공합니다.

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초기 조건 포함 해석의 기본 개념(예제 pdf)

라플라스 변환의 기초 개념(예제pdf)

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