라플라스 변환의 기초 개념(예제pdf)

August 7, 2025

라플라스 변환이란 무엇인가?

라플라스 변환(Laplace Transform)은 미분 방정식으로 표현된 시간 영역의 신호나 시스템을 복잡한 계산 없이 쉽게 분석할 수 있도록 변환하는 수학적 기법입니다. 시간 영역(Time Domain)에서 복잡하게 보이는 함수도 주파수 영역(Frequency Domain)으로 변환하면 훨씬 단순하게 해석할 수 있습니다.

전기회로, 제어공학, 신호처리 등 거의 모든 공학 분야에서 널리 사용되며, 특히 과도 응답 분석, 제어 시스템 안정성 분석, 회로 해석에 없어서는 안 될 도구입니다.

라플라스 변환의 정의

라플라스 변환의 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

$\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} , dt$

여기서,

$f(t)$ 는 시간 영역의 함수
$s$ 는 복소수 영역의 변수로, $s = \sigma + j\omega$ 형태
$F(s)$ 는 라플라스 변환된 함수

즉, 함수 $f(t)$ 를 $s$ 영역으로 변환하는 것입니다.

왜 라플라스 변환이 필요한가?

예를 들어, 다음과 같은 미분 방정식이 있다고 가정해 봅시다.

$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 5\frac{dy(t)}{dt} + 6y(t) = x(t)$

이 식을 라플라스 변환하면 다음과 같이 단순한 대수 방정식으로 바뀝니다.

$s^2 Y(s) + 5s Y(s) + 6Y(s) = X(s)$

복잡한 미분 연산이 $s$ 를 활용한 단순한 곱셈으로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 이것이 라플라스 변환의 핵심 장점입니다.

기본 라플라스 변환 공식

대표적인 함수들의 라플라스 변환 결과는 다음과 같습니다.

시간 함수 $f(t)$	라플라스 변환 $F(s)$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$\delta(t)$ (단위 임펄스)	$1$
$u(t)$ (단위 계단)	$\frac{1}{s}$

장점	단점
미분 방정식을 대수방정식으로 단순화	초기 조건을 반드시 명확히 알아야 함
시스템 응답을 해석하기 쉬움	비선형 시스템에는 적용 어려움
주파수 영역에서 시스템 특성 분석 가능	시불변 시스템에만 주로 사용

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라플라스 변환의 기초 개념(예제pdf)

라플라스 변환이란 무엇인가?

라플라스 변환의 정의

왜 라플라스 변환이 필요한가?

기본 라플라스 변환 공식

라플라스 변환의 선형성

미분과 적분의 라플라스 변환

미분

적분

시프트 정리 (Shift Theorem)

시간 지연

주파수 시프트

주로 사용하는 라플라스 역변환 표

라플라스 변환의 회로 해석 적용 예시

예시 회로 설명

실제 응용 분야

라플라스 변환의 장단점

결론

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