일차 및 이차 회로의 과도응답(예제 pdf)

1. 개요

회로에서 과도응답(transient response) 은 회로에 갑자기 전압이나 전류가 인가될 때 전압·전류가 안정 상태로 수렴해 가는 과정을 말합니다. 과도응답을 이해하면 회로의 동작 특성, 안정성, 시간 지연 등을 예측할 수 있어 회로 설계에 필수적입니다.
특히 일차 회로(저항‑콘덴서 또는 저항‑인덕터)와 이차 회로(RLC 회로)의 과도응답은 전자회로 설계, 제어 시스템, 신호 처리, 전력 시스템 등 다양한 분야에서 기본이 됩니다.

2. 일차 회로의 과도응답

일차 회로는 하나의 에너지 저장 소자(C 또는 L)와 저항 R으로 이루어진 회로입니다.

2.1. RC 회로의 과도응답

RC 직렬 회로에 계단전압이 걸릴 때 커패시터 전압 vC(t)v_C(t)vC(t) 은 다음과 같습니다:

$v_C(t) = V_{\text{final}} \bigl(1 - e^{-t / (R C)}\bigr)$

여기서 VfinalV_{\text{final}}Vfinal 은 최종 안정 전압, RCR CRC 는 시정수(time constant) τ\tauτ 입니다. 시정수가 작으면 빠르게 안정화되고, 크면 천천히 변화합니다.

또한 방전 시에는:

$v_C(t) = V_{0} e^{-t / (R C)}$

이렇게 지수적으로 감소합니다.

초보자 설명: 커패시터는 전하를 저장하고, 저항 R 은 흐름을 제한합니다. 계단 입력 후 전압 변화는 처음엔 빠르다가 시정수에 다가갈수록 느려지는 곡선 형태를 띕니다.
그래프 코드:

여기서는 시정수 τ=RC=1\tau = RC = 1τ=RC=1 단위로 가정하고 그렸습니다.

2.2. RL 회로의 과도응답

RL 직렬 회로에서는 인덕터 전류 iL(t)i_L(t)iL(t) 가 다음과 같습니다:

$i_L(t) = I_{\text{final}} \bigl(1 - e^{-t / (L / R)}\bigr)$

시정수는 τ=L/R\tau = L / Rτ=L/R 이고, 전류는 지수적으로 증가합니다. 전원이 제거되면:

$i_L(t) = I_{0} e^{-t / (L / R)}$

따라서 RL 회로도 비슷한 방식으로 지수 응답을 보입니다.

3. 이차 회로의 과도응답 (RLC 회로)

이차 회로는 저항 R, 인덕터 L, 커패시터 C 로 구성되며, 과도응답의 형태는 감쇠비에 따라 크게 세 가지로 나뉩니다.

3.1. 회로 방정식

RLC 직렬 회로에서 인덕터 전류 i(t)i(t)i(t) 에 대한 미분 방정식은:

$L ,\frac{d^2 i}{dt^2} + R ,\frac{d i}{dt} + \frac{1}{C} i = V_{\text{in}}(t)$

특히 계단 입력 Vin(t)=V0 u(t)V_{\text{in}}(t) = V_0\,u(t)Vin(t)=V0u(t) 에 대한 응답을 분석합니다.

3.2. 감쇠비 ζ 와 고유주파수 ω₀

정상 상태 분석을 위해 다음을 정의합니다:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}, \quad \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}$

이때 응답 형태는 ζ 에 따라 달라집니다.

ζ < 1: 저감쇠 (Underdamped) → 진동 후 수렴
ζ = 1: 임계감쇠 (Critically damped) → 빠른 수렴, 진동 없음
ζ > 1: 과감쇠 (Overdamped) → 비진동적, 천천히 수렴

3.3. 저감쇠 경우

$\zeta < 1$ 인 경우:

$i(t) = I_{\text{final}} \left(1 - \frac{e^{-\zeta \omega_0 t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin\bigl(\omega_d t + \phi\bigr)\right)$

여기서 ωd=ω01−ζ2\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}ωd=ω01−ζ2, 초기 위상 ϕ\phiϕ 는 초기 조건에 따라 결정됩니다.

3.4. 임계감쇠 경우

$\zeta = 1$ 일 때:

$i(t) = I_{\text{final}} \left(1 - (1 + \omega_0 t) e^{-\omega_0 t}\right)$

가장 빠르게 진동 없이 안정 상태에 도달합니다.

3.5. 과감쇠 경우

$\zeta > 1$ 인 경우:

$i(t) = I_{\text{final}} \left(1 - A e^{-\left(\zeta + \sqrt{\zeta^2 -1}\right)\omega_0 t} - B e^{-\left(\zeta - \sqrt{\zeta^2 -1}\right)\omega_0 t}\right)$