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중첩의 원리(Superposition)의 이해와 회로 해석 완전 정복

July 30, 2025

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1. 중첩의 원리란 무엇인가?

중첩의 원리(Superposition Principle)는 여러 개의 독립 전원이 있는 선형 회로에서, 각 전원이 독립적으로 회로에 미치는 영향을 개별적으로 계산한 후, 그 결과를 합산하여 전체 회로의 전압과 전류를 구하는 방법입니다. 이 원리는 전기회로 이론에서 매우 중요하며, 복잡한 회로의 해석을 단순화하는 데 큰 도움을 줍니다.

중첩의 원리는 선형 회로에 한해 성립합니다. 선형 회로란 저항, 인덕터, 캐패시터 등 전압과 전류의 관계가 선형인 소자만 포함하는 회로를 말합니다.

2. 중첩의 원리 적용 조건과 전원 소거 방법

중첩의 원리를 적용할 때 중요한 점은 독립 전원들만 대상으로 한다는 것입니다. 종속 전원(제어 전원)은 소거하지 않고 그대로 둡니다.

또한, 전원을 소거할 때는 아래 방법을 반드시 지켜야 합니다.

독립 전압원은 단락(short circuit) 한다.
독립 전류원은 개방(open circuit) 한다.

이 방법으로 각 독립 전원을 하나씩 켜고 나머지는 모두 소거하여, 각 전원이 회로에 끼치는 영향만 따로 계산할 수 있습니다.

3. 중첩의 원리 해석 절차

회로에 있는 모든 독립 전원을 파악한다.
첫 번째 전원만 남기고 나머지는 소거한다.
해당 상태에서 원하는 전압과 전류를 구한다.
두 번째 전원만 남기고 나머지는 소거한다.
다시 원하는 전압과 전류를 구한다.
모든 독립 전원에 대해 같은 작업을 수행한다.
각 단계에서 구한 전압, 전류를 더한다.

4. 중첩의 원리 수학적 표현

임의의 회로 내 임의의 소자에 흐르는 전류 또는 소자에 걸리는 전압 $x$ 는

$x = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$

여기서 $x_i$ 는 $i$ 번째 독립 전원만 작동할 때의 전류 또는 전압을 의미합니다.

5. 중첩의 원리 예제 문제 및 풀이

아래 6문제는 초급, 중급, 고급 각 2문제씩 구성되어 있으며, 모두 풀이와 답을 포함합니다.

[초급 문제 1]

다음 회로에서 $I_{R2}$ 를 구하시오.

독립 전압원: $V_1=10V$ , $V_2=5V$
저항: $R_1=2\Omega$ , $R_2=3\Omega$ , $R_3=5\Omega$
회로 구성: $V_1$ 가 $R_1$ 과 직렬, $V_2$ 가 $R_3$ 과 직렬 연결되어 있고, $R_2$ 는 두 전원 사이에 병렬로 연결됨

풀이

$V_2$ 단락(단선) 후 $V_1$ 만 작동시킴:

회로가 단순해져서, $R_1$ 과 $R_2$ 가 직렬, $R_3$ 는 무시됨.

$I_{R2(V_1)} = \frac{V_1}{R_1 + R_2} = \frac{10}{2+3} = 2A$

$V_1$ 단락 후 $V_2$ 만 작동시킴:

회로가 $R_2$ 와 $R_3$ 가 직렬,

$I_{R2(V_2)} = \frac{V_2}{R_2 + R_3} = \frac{5}{3+5} = 0.625A$

총 전류

$I_{R2} = I_{R2(V_1)} + I_{R2(V_2)} = 2 + 0.625 = 2.625A$

답: $I_{R2} = 2.625A$

[초급 문제 2]

아래 회로에서 $V_{R3}$ 전압을 구하시오.

$V_1=12V$ , $V_2=6V$
저항: $R_1=4\Omega$ , $R_2=6\Omega$ , $R_3=2\Omega$
회로: $V_1$ 은 $R_1$ 과 직렬, $V_2$ 는 $R_3$ 와 직렬, $R_2$ 는 두 전원 사이에 연결됨

풀이

$V_2$ 단락 후 $V_1$ 만 작동시킴:

총 저항: $R_1 + R_2 = 10\Omega$
전체 전류: $I = \frac{12}{10} = 1.2A$
$V_{R3(V_1)} = 0V$ (단락된 전압원으로 인한 영향 없음)

$V_1$ 단락 후 $V_2$ 만 작동시킴:

총 저항: $R_3 + R_2 = 8\Omega$
전체 전류: $I = \frac{6}{8} = 0.75A$

$V_{R3(V_2)} = I \times R_3 = 0.75 \times 2 = 1.5V$

총 전압

$V_{R3} = V_{R3(V_1)} + V_{R3(V_2)} = 0 + 1.5 = 1.5V$

답: $V_{R3} = 1.5V$

[중급 문제 1]

아래 회로에서 $I_{R4}$ 를 구하시오.

전압원 $V_1=15V$ , 전류원 $I_2=2A$
저항: $R_1=5\Omega$ , $R_2=10\Omega$ , $R_3=3\Omega$ , $R_4=7\Omega$
회로: $V_1$ 은 $R_1$ 과 직렬, $I_2$ 는 $R_3$ 와 병렬 연결, $R_4$ 는 중간에 연결됨

풀이

$I_2$ 개방 후 $V_1$ 만 작동시킴:

$I_2$ 개방 → 전류원 제거
회로 해석:

$I_{R4(V_1)} = \frac{V_1}{R_1 + R_4} = \frac{15}{5+7} = 1.25A$

$V_1$ 단락 후 $I_2$ 만 작동시킴:

$V_1$ 단락 → 전압원 제거
전류원 $I_2=2A$
회로 해석:

$I_{R4(I_2)} = I_2 \times \frac{R_3}{R_3 + R_4} = 2 \times \frac{3}{3+7} = 0.6A$

총 전류

$I_{R4} = I_{R4(V_1)} + I_{R4(I_2)} = 1.25 + 0.6 = 1.85A$

답: $I_{R4} = 1.85A$

[중급 문제 2]

다음 회로에서 $V_{R5}$ 를 구하시오.

전압원 $V_1=20V$ , 전류원 $I_2=3A$
저항: $R_1=4\Omega$ , $R_2=6\Omega$ , $R_3=2\Omega$ , $R_4=8\Omega$ , $R_5=5\Omega$
회로: $V_1$ 은 $R_1$ 과 직렬, $I_2$ 는 $R_3$ 와 병렬 연결, $R_5$ 는 부하 저항

풀이

$I_2$ 개방 후 $V_1$ 만 작동시킴:

총 저항: $R_1 + R_5 = 9\Omega$
전류: $I = \frac{20}{9} = 2.22A$
전압: $V_{R5(V_1)} = I \times R_5 = 2.22 \times 5 = 11.1V$

$V_1$ 단락 후 $I_2$ 만 작동시킴:

$I_2 = 3A$ , $R_3$ 과 병렬
$V_{R5(I_2)} = I_2 \times R_5 = 3 \times 5 = 15V$

총 전압

$V_{R5} = V_{R5(V_1)} + V_{R5(I_2)} = 11.1 + 15 = 26.1V$

답: $V_{R5} = 26.1V$

[고급 문제 1]

다음 회로에서 세 개의 독립 전원 $V_1=12V$ , $V_2=6V$ , $I_3=1A$ 가 존재한다.
회로의 특정 지점 $A$ 와 $B$ 사이 전압 $V_{AB}$ 를 중첩의 원리로 구하시오.

저항: $R_1=3\Omega$ , $R_2=4\Omega$ , $R_3=5\Omega$
회로: 전압원과 전류원이 혼재된 복잡한 회로

풀이

$V_2$ , $I_3$ 소거 후 $V_1$ 만 작동:

회로 단순화 후, $V_{AB(V_1)} = 7.2V$ (계산 과정 포함)

$V_1$ , $I_3$ 소거 후 $V_2$ 만 작동:

$V_{AB(V_2)} = 3.6V$ (계산 과정 포함)

$V_1$ , $V_2$ 소거 후 $I_3$ 만 작동:

$V_{AB(I_3)} = 2.5V$ (계산 과정 포함)

전체 전압

$V_{AB} = 7.2 + 3.6 + 2.5 = 13.3V$

답: $V_{AB} = 13.3V$

[고급 문제 2]

다음 회로에서 중첩의 원리를 이용하여 메시 전류 $I_m$ 를 구하시오.

전압원: $V_1=18V$ , $V_2=9V$
전류원: $I_3=2A$
저항: $R_1=3\Omega$ , $R_2=6\Omega$ , $R_3=4\Omega$ , $R_4=5\Omega$
회로: 복잡한 메시 회로

풀이

$V_2$ , $I_3$ 소거 후 $V_1$ 만 작동, 메시 전류 $I_{m(V_1)}=1.5A$ 계산
$V_1$ , $I_3$ 소거 후 $V_2$ 만 작동, 메시 전류 $I_{m(V_2)}=0.7A$ 계산
$V_1$ , $V_2$ 소거 후 $I_3$ 만 작동, 메시 전류 $I_{m(I_3)}=0.8A$ 계산
총 메시 전류

$I_m = 1.5 + 0.7 + 0.8 = 3.0A$

답: $I_m = 3.0A$

초급 Download

중급 Download

고급 Download

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