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임피던스와 어드미턴스 완전 정복: 복소수 교류 회로 해설(예제PDF)

August 1, 2025

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임피던스와 어드미턴스 완전 정복

1. 서론: 교류 회로에서의 저항 그 이상

직류 회로에서는 저항(Resistance)이 전류의 흐름을 방해하는 유일한 요소입니다. 하지만 교류 회로에서는 전류의 크기뿐 아니라 위상까지 영향을 주는 여러 요소가 작용하게 됩니다. 이때 등장하는 개념이 바로 ‘임피던스(Impedance)’와 ‘어드미턴스(Admittance)’입니다. 이 두 가지는 교류 회로 해석의 핵심이며, 복소수 표현을 통해 전압과 전류의 위상 관계를 정확하게 설명할 수 있습니다.

2. 임피던스란 무엇인가?

임피던스는 교류 회로에서 전류의 흐름을 방해하는 정도를 나타냅니다. 직관적으로는 교류 회로에서의 저항이라고 생각할 수 있지만, 더 나아가 위상차까지 고려해야 하므로 복소수로 표현됩니다.

▷ 임피던스의 정의

$Z = R + jX$

여기서

$R$ : 저항(실수 성분)
$X$ : 리액턴스(허수 성분)
$j$ : 허수 단위로, $j^2 = -1$

3. 리액턴스와 그 유형

리액턴스는 전압과 전류 사이에 위상차를 발생시키는 성분입니다. 이는 커패시터나 인덕터에 의해 발생하며, 다음과 같이 정의됩니다:

인덕터의 리액턴스

$X_L = \omega L$

커패시터의 리액턴스

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

여기서 $\omega = 2\pi f$ 는 각주파수입니다.

4. 임피던스의 종류별 표현

저항 $R$ : $Z = R$
인덕터 $L$ : $Z = j\omega L$
커패시터 $C$ : $Z = \frac{1}{j\omega C} = -j\left( \frac{1}{\omega C} \right)$

5. 어드미턴스란?

어드미턴스는 임피던스의 역수이며, 전류가 얼마나 잘 흐를 수 있는지를 나타냅니다. 단위는 지멘스(Siemens, $\si{\siemens}$ )입니다.

$Y = \frac{1}{Z} = G + jB$

여기서

$G$ : 컨덕턴스(저항의 역수)
$B$ : 서셉턴스(리액턴스의 역수 성분)

6. 임피던스와 어드미턴스 관계 예제

$Z = 4 + j3 \quad \Rightarrow \quad Y = \frac{1}{4 + j3}$

분모 유리화:

$Y = \frac{1}{4 + j3} \cdot \frac{4 - j3}{4 - j3} = \frac{4 - j3}{25} = 0.16 - j0.12$

즉,

$G = 0.16, \quad B = -0.12$

7. 교류 회로에서의 활용

직렬 회로의 임피던스 합

$Z_{\text{total}} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$

병렬 회로의 어드미턴스 합

$Y_{\text{total}} = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n$

8. 임피던스 벡터와 페이저 표현

교류 회로에서 전압과 전류는 사인파 또는 코사인파로 표현되며, 이들은 페이저로 변환되어 분석됩니다.

예:

$v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta) \Rightarrow \text{Phasor: } \mathbf{V} = V_m \angle \theta$

이때 임피던스는 페이저 전압과 전류의 비로 정의됩니다.

$Z = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}$

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