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노드 전압법 완벽 정리: 초보자도 이해하는 회로 해석 기본

July 30, 2025

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1. 노드 전압법(Node Voltage Method)이란?

노드 전압법은 전기회로 해석에서 가장 널리 쓰이는 방법 중 하나로, 회로 내 노드(접점)들의 전압을 미지수로 설정해 방정식을 세우고 해를 구하는 방법입니다.

기본 아이디어는 다음과 같습니다.

회로 내 모든 전압원의 한쪽 기준점(보통 접지, 그라운드)을 정합니다.
나머지 노드들의 전압을 미지수로 둡니다.
키르히호프 전류법칙(KCL)에 따라 각 노드에서 유입 전류와 유출 전류의 합이 0이 되는 방정식을 세웁니다.
이 연립방정식을 풀어 노드 전압을 구합니다.

2. 노드 전압법의 장점

회로 내 전류 변수를 일일이 계산할 필요 없이 노드 전압 변수만 다루어 계산량이 줄어듭니다.
여러 개의 전압원이 있어도 체계적으로 방정식을 세울 수 있습니다.
복잡한 회로 해석에 효과적이며 컴퓨터 프로그램 구현에 적합합니다.

3. 노드 전압법 기본 절차

접지 노드 설정
- 회로에서 기준 전압(0V)을 정하는 노드를 하나 선택합니다. 보통 가장 많은 연결선이 있는 노드를 접지로 선택합니다.
노드 전압 변수 설정
- 접지 노드를 제외한 모든 노드 전압을 변수로 설정합니다. $V_1, V_2, \dots, V_n$ 형태로 표기합니다.
키르히호프 전류법칙(KCL) 적용
- 각 노드에서 유입 전류와 유출 전류 합이 0이 되도록 전류 식을 세웁니다.
- 저항은 옴의 법칙에 의해 전류 = 전압차 / 저항으로 표현합니다. 예를 들어, 노드 1과 접지 사이에 저항 $R$ 가 있으면 전류는 $(V_1 - 0)/R$ 입니다.
연립방정식 작성 및 풀이
- 노드별 KCL식을 모아 연립방정식을 만듭니다.
- 행렬식이나 가우스 소거법, 계산기 등을 활용해 풀어 노드 전압을 구합니다.
전류 및 다른 변수 계산
- 구한 노드 전압을 활용해 회로 내 전류 및 기타 변수들을 계산할 수 있습니다.

4. 노드 전압법 적용 시 주의사항

전압원이 두 노드를 직접 연결하는 경우 슈퍼노드(supernode)를 만들어야 합니다.
전류원이 있는 경우에는 해당 노드에 전류원 조건을 추가해야 합니다.
노드 수가 $n$ 개면, 접지 노드를 제외한 $n-1$ 개의 노드전압 변수를 구해야 합니다.

5. 노드 전압법 예제 문제

초급 문제 1

회로에 접지 노드와 노드 1이 있습니다. 노드 1과 접지 사이에 저항 $R = 10 \Omega$ , 노드 1과 접지 사이에 전압원 $V_s = 5 V$ 가 있습니다. 노드 1의 전압을 구하세요.

풀이

전압원이 노드 1과 접지를 직접 연결하므로 노드 1 전압은 바로 $V_s$ 와 같습니다.

답: $V_1 = 5 V$

초급 문제 2

저항 $R_1 = 5 \Omega$ , $R_2 = 10 \Omega$ 가 접지 노드와 노드 1, 노드 2 사이에 각각 연결되어 있습니다. 노드 1과 노드 2 사이에는 저항 $R_3 = 15 \Omega$ 이 있습니다. 노드 1에 전류원 $I_s = 2 A$ 가 연결되어 있고, 접지는 0V로 설정되어 있습니다. 노드 1과 노드 2 전압을 구하세요.

풀이

접지를 기준으로 노드 전압 $V_1, V_2$ 를 미지수로 설정.

KCL식 (노드 1):

$I_s = \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_1 - V_2}{R_3}$

KCL식 (노드 2):

$0 = \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_2 - V_1}{R_3}$

값 대입 후 연립방정식 풀기.

(1) $2 = \frac{V_1}{5} + \frac{V_1 - V_2}{15}$
(2) $0 = \frac{V_2}{10} + \frac{V_2 - V_1}{15}$

식 (2) 정리:
$\frac{V_2}{10} + \frac{V_2}{15} - \frac{V_1}{15} = 0 \Rightarrow \frac{3V_2}{30} + \frac{2V_2}{30} - \frac{2V_1}{30} = 0$

$5V_2 = 2V_1 \Rightarrow V_2 = \frac{2}{5} V_1$

식 (1) 대입:

$2 = \frac{V_1}{5} + \frac{V_1 - \frac{2}{5}V_1}{15} = \frac{V_1}{5} + \frac{\frac{3}{5} V_1}{15} = \frac{V_1}{5} + \frac{3V_1}{75} = \frac{15V_1 + 3V_1}{75} = \frac{18V_1}{75} = \frac{6V_1}{25}$

따라서,

$2 = \frac{6V_1}{25} \Rightarrow V_1 = \frac{2 \times 25}{6} = \frac{50}{6} \approx 8.33 V$

$V_2 = \frac{2}{5} \times 8.33 = 3.33 V$

답:

$V_1 \approx 8.33 V, \quad V_2 \approx 3.33 V$

중급 문제 1

다음 회로에서, 접지를 기준으로 노드 1과 노드 2 전압을 구하시오.

$R_1 = 4 \Omega, R_2 = 6 \Omega, R_3 = 12 \Omega$
노드 1과 접지 사이에 전압원 $V_s = 10 V$
노드 2와 접지 사이에 전류원 $I_s = 3 A$
노드 1과 노드 2 사이에 저항 $R_3$

풀이

노드 1 전압은 $V_s = 10 V$ (전압원 직접 연결).
노드 2 전압 $V_2$ 미지수로 두고, 노드 2에 KCL 적용:

$I_s = \frac{V_2 - V_1}{R_3} + \frac{V_2}{R_2}$

값 대입:
$3 = \frac{V_2 - 10}{12} + \frac{V_2}{6}$
$3 = \frac{V_2 - 10}{12} + \frac{2V_2}{12} = \frac{3V_2 - 10}{12}$

$36 = 3V_2 - 10 \Rightarrow 3V_2 = 46 \Rightarrow V_2 = \frac{46}{3} \approx 15.33 V$

답:

$V_1 = 10 V, \quad V_2 \approx 15.33 V$

중급 문제 2

3노드 회로에서 접지를 기준으로 다음을 구하시오.

$R_1 = 3 \Omega, R_2 = 6 \Omega, R_3 = 9 \Omega$
노드 1과 접지 사이에 전류원 $I_s = 4 A$
노드 2와 접지 사이에 전압원 $V_s = 12 V$
노드 1과 노드 2 사이 저항 $R_3$

풀이

노드 2 전압: $V_2 = 12 V$ (전압원 직접 연결).
노드 1 전압 $V_1$ 미지수로 두고 KCL:

$I_s = \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_1 - V_2}{R_3}$
$4 = \frac{V_1}{3} + \frac{V_1 - 12}{9} = \frac{3V_1 + V_1 - 12}{9} = \frac{4V_1 - 12}{9}$

$36 = 4V_1 - 12 \Rightarrow 4V_1 = 48 \Rightarrow V_1 = 12 V$

답:

$V_1 = 12 V, \quad V_2 = 12 V$

고급 문제 1

아래 회로에서 접지를 기준으로 노드 1, 노드 2, 노드 3 전압을 구하시오.

저항: $R_1 = 2 \Omega, R_2 = 4 \Omega, R_3 = 6 \Omega, R_4 = 3 \Omega$
노드 1과 접지 사이 전압원: $V_s = 8 V$
노드 2에 전류원: $I_s = 5 A$
연결: 노드 1–노드 2: $R_2$ , 노드 2–노드 3: $R_3$ , 노드 3–접지: $R_4$ , 노드 1–접지: $R_1$

풀이

$V_1 = 8 V$ (전압원).
미지수: $V_2, V_3$
KCL 노드 2:

$I_s = \frac{V_2 - V_1}{R_2} + \frac{V_2 - V_3}{R_3}$

KCL 노드 3:

$0 = \frac{V_3 - V_2}{R_3} + \frac{V_3 - 0}{R_4}$

식 1:
$5 = \frac{V_2 - 8}{4} + \frac{V_2 - V_3}{6}$
식 2:

$0 = \frac{V_3 - V_2}{6} + \frac{V_3}{3}$

식 2 정리:

$\frac{V_3 - V_2}{6} + \frac{2V_3}{6} = 0 \Rightarrow V_3 - V_2 + 2V_3 = 0 \Rightarrow 3V_3 = V_2 \Rightarrow V_3 = \frac{V_2}{3}$

식 1에 대입:
$5 = \frac{V_2 - 8}{4} + \frac{V_2 - \frac{V_2}{3}}{6} = \frac{V_2 - 8}{4} + \frac{\frac{2V_2}{3}}{6} = \frac{V_2 - 8}{4} + \frac{2V_2}{18}$

$= \frac{V_2 - 8}{4} + \frac{V_2}{9} = \frac{9(V_2 - 8)}{36} + \frac{4V_2}{36} = \frac{9V_2 - 72 + 4V_2}{36} = \frac{13V_2 - 72}{36}$

따라서,

$5 = \frac{13V_2 - 72}{36} \Rightarrow 180 = 13V_2 - 72 \Rightarrow 13V_2 = 252 \Rightarrow V_2 = \frac{252}{13} \approx 19.38 V$

$V_3 = \frac{19.38}{3} \approx 6.46 V$

답:

$V_1 = 8 V, \quad V_2 \approx 19.38 V, \quad V_3 \approx 6.46 V$

고급 문제 2

다음 회로에서, 노드 1, 노드 2, 노드 3 전압을 구하시오.

저항: $R_1 = 1 \Omega, R_2 = 2 \Omega, R_3 = 3 \Omega, R_4 = 4 \Omega, R_5 = 5 \Omega$
전압원: 노드 1과 접지 사이 $V_s = 10 V$
전류원: 노드 3에 $I_s = 2 A$
연결:
- 노드 1–노드 2: $R_1$
- 노드 2–접지: $R_2$
- 노드 2–노드 3: $R_3$
- 노드 3–접지: $R_4$
- 노드 1–접지: $R_5$

풀이

$V_1 = 10 V$ (전압원).
미지수: $V_2, V_3$

노드 2 KCL:

$0 = \frac{V_2 - V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_2 - V_3}{R_3}$

노드 3 KCL:

$I_s = \frac{V_3 - V_2}{R_3} + \frac{V_3}{R_4}$

식 1:
$0 = \frac{V_2 - 10}{1} + \frac{V_2}{2} + \frac{V_2 - V_3}{3} = (V_2 - 10) + \frac{V_2}{2} + \frac{V_2 - V_3}{3}$
통분 후:
$0 = \frac{6(V_2 - 10) + 3V_2 + 2(V_2 - V_3)}{6} = \frac{6V_2 - 60 + 3V_2 + 2V_2 - 2V_3}{6} = \frac{11V_2 - 2V_3 - 60}{6}$

$\Rightarrow 11V_2 - 2V_3 = 60$

식 2:
$2 = \frac{V_3 - V_2}{3} + \frac{V_3}{4} = \frac{4(V_3 - V_2) + 3V_3}{12} = \frac{7V_3 - 4V_2}{12}$

$\Rightarrow 24 = 7V_3 - 4V_2$

연립방정식:

$\begin{cases} 11V_2 - 2V_3 = 60 \ -4V_2 + 7V_3 = 24 \end{cases}$

가우스 소거법 또는 행렬법으로 풀면,

식1 *7:

$77V_2 - 14V_3 = 420$

식2 * 2:

$-8V_2 + 14V_3 = 48$

두 식 합:

$69V_2 = 468 \Rightarrow V_2 = \frac{468}{69} \approx 6.78 V$

식1에 대입:

$11 \times 6.78 - 2V_3 = 60 \Rightarrow 74.58 - 2V_3 = 60 \Rightarrow -2V_3 = -14.58 \Rightarrow V_3 = 7.29 V$

답:

$V_1 = 10 V, \quad V_2 \approx 6.78 V, \quad V_3 \approx 7.29 V$

6. 요약 및 활용

노드 전압법은 복잡한 회로 해석을 체계적이고 효율적으로 할 수 있게 하는 방법입니다.
실제 설계나 분석 시 기본으로 숙지하면 회로의 동작을 정량적으로 이해하고 문제를 빠르게 해결하는 데 큰 도움이 됩니다.

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회로이론에서의 독립 전원과 종속 전원의 완전 이해

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